Буква зависит от ударения и его отсутствия

Это самая трудная часть правила. Потому что надо не запутаться, в каких корнях без ударения писать О, в каких - А.

Итак, во всех корнях под ударением пишем ту букву, какую слышим. 

Без ударения А пишется в корнях зар, плав, пай (чередование зар/зор, плав/плов/плыв, пай/пой): зарево - зори - заря, припой - паяльник.

Без ударения О пишется в корнях гор, клон, твор (чередования гор/гар, клон/кклан, твор/твар): гарь - выгореть, склон - кланяться.

Буква зависит от смысла.

Здесь мы имеем самую немотивированную часть правила. Существует множество омонимичных или созвучных пар слов, имеющих похожие корни с разным значением и с разными буквами: флаг развевается, ребёнок развивается, залезать на дерево, зализать рану и т.д. Но почему-то только две пары таких слов названы корнями с чередующейся гласной. Если у корней разные значения (пусть даже в чём-то близкие), значит, корни разные. А раз корни разные, при чём тут чередование? Но приведём эти правила в формулировке Розенталя.

"Корень равн- имеется в словах со значением «равный, одинаковый, наравне»: уравнение, сравнить, поравняться (стать наравне). Корень ровн- – в словах со значением «ровный, прямой, гладкий»: заровнять, ровесник, сровнять, уровень. Ср.: подравнять (сделать равным) – подровнять (сделать ровным); выравнен (сделан равным) – выровнен (сделан ровным)." Исключения: равняйсь! равнение, равняться, равнина.

"Корень мак- содержится в глаголах, имеющих значение «погружать в жидкость»: макать сухарь в чай, обмакнуть перо в чернила. Корень мок- содержится в глаголах со значением «пропускать жидкость»: вымокнуть под дождём, промокнуть написанное. Правило распространяется на производные слова: макание, промокательная бумага, непромокаемый плащ."

Чередование Е и И

Эти корни, к счастью, подчиняются одному принципу: если есть суффикс А - пишется И, иначе - пишется Е. Главное - запомнить корни, в которых существует такое чередование. Итак, запоминаем: бер- – бир-, дер- – дир-, мер- – мир-, пер- – пир-, тер- – тир-, блест- – блист-, жег- – жиг-, стел- – стил-, чет- – чит- 

Исключения: сочетать, сочетание, протирка, задира. Последние два исключения можно и не запоминать, т.к. буква в них находится под ударением, ошибиться невозможно.

Вот как выглядит это правило в своде 1956 года:

"Чередование и и е находим в следующих глаголах:

• сжигать — сжечь, выжигать — выжечь и т. п.;
• постилать — постелю, расстилать — расстелю и т. п.;
• раздирать — раздеру, удирать — удеру и т. п.;
• отпирать — отпереть, запирать — запереть и т. п.;
• стирать — стереть, растирать — растереть и т. п.;
• умирать — умереть, помирать — помереть, замирать — замереть и т. п.;
• избирать — изберу, прибирать — приберу и т. п.;
• вычитать — вычесть, прочитать — прочесть и т. п.;
• сидеть — сесть;
• блистать — блестеть."

Чередование Я и И

В чередованиях ня/ним тот же принцип: И пишется после суффикса А: унять - унимать, обнять - обнимать.

Примеры

Прикасаться - прикосновение

Положить - полагать

Тварь - вытворять

Заря - зори

Скакать - выскочить

Растение - росток

Пригорать - гарь

Вымирать - умереть

Отдирать - отдерёшь

Блистать - блестеть

Вытирать - вытереть

Упомянуть - упоминать

История правила

Первое правило, похожее на современные правила о чередованиях гласных, возникло у Грота и касалось правописания слов с корнем РОС/РАСТ/РАЩ

В своде 1956 года имеются пять правил, которые касаются чередования А и О в корне (рос/раст, зар/зор, равн/ровн, гор/гар, плав/плов.

У Розенталя таких корней уже 11. 

Некоторые современные учебники выделили ещё не менее пяти корней с чередованием (например крап/кроп, пай/пой). 

Процесс описания всех корней с чередующимися гласными ещё не завершён.

На что обратить внимание

1. К счастью, слов с безударными чередующимися гласными, в которых часто допускаются ошибки, сравнительно немного: не более трёх десятков. Эти слова проще выучить как словарные, чем запоминать все пункты правила.

2. Очень важно! Не путайте корни с чередованием с похожими корнями, имеющими другое значение. Примерять платье - корень со значением "мерка", гласная проверяется ударением, примирять друзей - корень со значением "мир", гласная проверяется ударением, умирать, умереть - чередование в корне мер/мир, значение "смерть".  Корни слов горевать, клонировать, искоса не имеют ничего общего с корнями, имеющими чередование гор/гар, кос/кас, клон/клан. Подобных слов в языке около сотни.

3. Существуют пары слов с полногласием и неполногласием: злато - золото и т.п. Это тоже чередование букв в корнях, но такие корни не описаны в правилах о чередовании гласных, хотя гласные во многих таких парах безударны.

4. Существуют пары глаголов с различными гласными в аналогичных корнях. Топтать - вытаптывать, молчать - умалчивать. Таких пар десятки, если не сотни, но правилом о чередовании гласных они не описаны. Однако есть правило 1956 года, касающееся проверяемых гласных: "При установлении написания о или а в неударяемых корнях глаголов не следует принимать в расчёт формы несовершенного вида на -ывать (-ивать) с ударяемым а".

Мы сделали все, чтобы помочь ученикам освоить правило в полной мере и довести выбор букв при чередовании до автоматизма, а также не путать корни с чередованием с похожими корнями. Приобретайте курс Орфография по правиламили отдельно тему Чередование гласных в корне